2013年全国研究生数学建模竞赛A 题

变循环发动机部件法建模及优化

由飞机/发动机设计原理可知，对于持续高马赫数飞行任务，需要高单位推力的涡喷循环，反之，如果任务强调低马赫数和长航程，就需要低耗油率的涡扇循环。双涵道变循环发动机可以同时具备高速时的大推力与低速时的低油耗。变循环发动机的内在性能优势，受到了各航空强国的重视，是目前航空发动机的重要研究方向。

1 变循环发动机的构造及基本原理

1.1 基本构造

双涵道变循环发动机的基本构造见图1、图2，其主要部件有：进气道、风扇、副外涵道、CDFS涵道、核心驱动风扇级（CDFS）、主外涵道、前混合器、高压压气机、主燃烧室、高压涡轮、低压涡轮、后混合器、加力燃烧室、尾喷管。双涵道模式下，选择活门和后混合器（后VABI）全部打开；单涵道模式下，选择活门关闭，后混合器关小到一定位置。

图1 变循环发动机的基本构造

图2  双涵道变循环发动机结构示意图

图中数字序号表示发动机各截面参数的下脚标

各部件之间的联系如图3所示，变循环发动机为双转子发动机，风扇与低压涡轮相连，CDFS、高压压气机与高压涡轮相连，如图3下方褐色的线所示。蓝色的线表示有部件之间的气体流动连接（图3中高压压气机后不经主燃烧室的分流气流为冷却气流，在本题中忽略不计）。

图3 变循环发动机工作原理图

1.2工作原理

变循环发动机有两种工作模式，分别为涡喷模式和涡扇模式。

发动机在亚音速巡航的低功率工作状态，风扇后的模式转换活门因为副外涵与风扇后的压差打开，使更多空气进入副外涵，同时前混合器面积开大，打开后混合器，增大涵道比，降低油耗，此时为发动机的涡扇模式。

发动机在超音速巡航、加速、爬升状态时，前混合器面积关小，副外涵压力增大，选择活门关闭，迫使绝大部分气体进入核心机，产生高的推力，此时为发动机的涡喷模式。

2 变循环发动机部件建模法

燃气涡轮发动机的特性可以用实验方法和计算方法获得。但实验的方法需要研制复杂的设备、投入巨额的资金和消耗巨大的能源，因此实验的方法不可能经常采用。

随着计算能力的不断提高，发动机数学模型研究的不断深入，计算机仿真精度也在不断提高，一定程度上弥补了实验方法的不足，尤其是在发动机型号研制过程中，燃气涡轮发动机计算机仿真技术发挥了不可替代的作用。

燃气涡轮发动机是由进气道、压气机、主燃烧室、涡轮、喷管等部件组成的。如果计算机能够对这些部件的性能进行准确的模拟，那么也就能准确地模拟整个发动机的性能。这种建立在准确模拟发动机各部件性能基础上的发动机性能计算方法，称为部件法。该方法是建立在发动机各部件特性已知的基础上的，因此是计算精度较高的一种方法。附录1分别对变循环发动机每个部件的计算公式进行了逐一介绍。

3 发动机平衡方程

发动机各部件匹配工作时，受如下7个平衡方程制约。

1）低压轴功率平衡    

                               （1）

其中是风扇消耗功率，是低压涡轮发出功率， 为中间轴机械效率。

2）高压轴功率平衡    

                    （2）

和分别是高压压气机和CDFS的消耗功率，是高压涡轮发出功率， 是高速轴的机械效率。

3）高压涡轮进口截面流量平衡    

                            （3）

是高压涡轮进口截面气体流量，即主燃烧室出口气体流量和冷却空气流量，是通过高压涡轮特性数据线性插值得到的高压涡轮流量，这里忽略冷却的空气流量。

4）低压涡轮进口截面流量平衡     

                           (4)

是低压涡轮进口截面流量，由主燃烧室出口气体流量和冷却空气流量计算得到，是通过低压涡轮特性数据线性插值得到的低压涡轮流量，这里忽略冷却的空气流量。

5）后混合器静压平衡        

                           （5）

和分别是后混合器内、外涵道（主外涵道）的静压，二者应平衡。后混合器见图2的6截面.

6）尾喷管面积平衡         

                                 （6）

为给定的尾喷管8截面的面积，这里、为按附录1尾喷管的有关公式计算出的尾喷管8截面的面积，二者应相等。

7）风扇出口流量平衡 

                        （7）

其中风扇出口的流量分流为副外涵流量和CDFS进口流量，三者之间应存在平衡关系。副外涵流量是按附录1中前混合器的有关公式计算出的。

方程（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）中的变量，各量可分别由附录1中的公式转化为表3.1所列12个设计中需要给出的发动机各部件参数的函数。

表3.1 发动机参数说明

试给参数	说明	试给参数	说明
	低压转速（风扇、低压涡轮物理转速）		高压涡轮压比函数值
	高压转速（高压压气机、CDFS、高压涡轮物理转速）		低压涡轮压比函数值
	风扇压比函数值		风扇导叶角
	CDFS压比函数值		CDFS导叶角
	高压压气机压比函数值		高压压气机导叶角
	主燃烧室出口温度		低压涡轮导叶角

4 要解决的问题

请你们完成以下几个问题：

一、1）请画出附录4中风扇特性数据表中流量随压比函数值变化的图形。2) 设在发动机飞行高度，飞行马赫数的亚音速巡航点，导叶角度均设置为0°，风扇和CDFS的物理转速都为0.95，风扇和CDFS的压比函数值都为,求风扇和CDFS的出口总温、总压和流量。

二、设在发动机飞行高度，飞行马赫数的亚音速巡航点，采用双涵道模式，导叶角度均设置为0°，选择活门完全打开，副外涵道面积设为，后混合器出口总面积设置为2.8518e+004，尾喷管喉道面积，。请运用或设计适当的算法求解由发动机7个平衡方程（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）组成的非线性方程组。要求陈述算法的关键步骤及其解释，尽可能讨论算法的有效性。

如果你们队还有时间，请研究下面的问题：

三、1）设在发动机飞行高度，飞行马赫数的超音速巡航点，发动机采用单涵道模式，将选择活门面积设置为0，风扇导叶角度、高压压气机导叶角度、高压涡轮导叶角度均设置为，后混合器面积设置为2.8518e+004。请问发动机CDFS导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量为多少时，发动机的性能最优?

2）试研究发动机飞行高度，飞行马赫数从变化到,发动机特性最优时，CDFS导叶角度、低压涡轮导叶角度,尾喷管喉道面积随飞行马赫数的变化规律。此时发动机采用单涵道模式，将选择活门面积设置为0，风扇导叶角度、高压压气机导叶角度、高压涡轮导叶角度均设置为，后混合器出口总面积设置为2.8518e+004，后混合器内、外涵道面积可调（即不受附录1后混合器给定的内、外涵道面积值的约束）。

 

注：①压比函数值的定义见附录3。②为了简单，题中各量的单位不需要转换，直接运算认为是合理的。

 

附录1  发动机部件计算公式

附录2  工质热物理性质参数

附录3  气动函数及其他常用公式

附录4  数据

 

参考文献

 

苟学中，周文祥，黄金泉，变循环发动机部件级建模技术，航空动力学报，2013,28（1）：104-111.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 2013年全国研究生数学建模竞赛B 题（华为公司合作命题）   

       功率放大器非线性特性及预失真建模

 

一、背景介绍

1.问题引入

信号的功率放大是电子通信系统的关键功能之一，其实现模块称为功率放大器（PA，Power Amplifier），简称功放。功放的输出信号相对于输入信号可能产生非线性变形，这将带来无益的干扰信号，影响信信息的正确传递和接收，此现象称为非线性失真。传统电路设计上，可通过降低输出功率的方式减轻非线性失真效应。

功放非线性属于有源电子器件的固有特性，研究其机理并采取措施改善，具有重要意义。目前已提出了各种技术来克服改善功放的非线性失真，其中预失真技术是被研究和应用较多的一项新技术，其最新的研究成果已经被用于实际的产品（如无线通信系统等），但在新算法、实现复杂度、计算速度、效果精度等方面仍有相当的研究价值。

本题从数学建模的角度进行探索。若记输入信号，输出信号为， 为时间变量，则功放非线性在数学上可表示为，其中为非线性函数。预失真的基本原理是：在功放前设置一个预失真处理模块，这两个模块的合成总效果使整体输入-输出特性线性化，输出功率得到充分利用。原理框图如图1所示。

图1  预失真技术的原理框图示意

其中和的含义如前所述，为预失真器的输出。设功放输入-输出传输特性为，预失真器特性为，那么预失真处理原理可表示为

                                 （1）表示为和的复合函数等于。线性化则要求

                                                         （2）

式中常数是功放的理想“幅度放大倍数”（g>1）。因此，若功放特性已知，则预失真技术的核心是寻找预失真器的特性，使得它们复合后能满足 

                                           （3）

如果测得功放的输入和输出信号值，就能拟合功放的特性函数，然后利用（3）式，可以求得。

2.功放的非线性模型

由于各类功放的固有特性不同，特性函数差异较大，即使同一功放，由于输入信号类型、环境温度等的改变，其非线性特性也会发生变化。根据函数逼近的Weierstrass定理，对解析函数总可以用一个次数充分大的多项式逼近到任意程度，故可采用计算简单的多项式表示非线性函数。

如果某一时刻的输出仅与此时刻的输入相关，称为无记忆功放，其特性可用多项式表示为

                                                           （4）

式中表示非线性的阶数（即多项式次数），诸为各次幂的系数。在函数逼近理论中，是用函数组生成的K+1维空间里的这组基的线性组合表示，用函数空间的一组正交函数基的线性组合表示则性能更佳、计算更方便，故（4）亦可用正交基等其它方式表示。

如果对功放输入/输出进行离散采样后值为分别为/（采样过程符合Nyquist采样定理要求），则（4）可用离散多项式表示如下

             。         （5）

如果功放的某一时刻输出不仅与此时刻输入有关，而且与此前某一时间段的输入有关，则称为有记忆功放。对（5）式增加记忆效应，可以写为：

                         （6）

式中表示记忆深度，诸为系数。具有记忆效应的功放模型也可以用更一般的Volterra级数[1][2]表示，由于Volterra级数太复杂，简化模型有Wiener、Hammersteint等[3][4]。由于常用复值输入-输出信号，（6）也可表示为便于计算的“和记忆多项式”模型

                                  （7）

3.预失真处理模型

在功放的特性已知条件下，求解方程(3)是一类特殊的函数方程，求解的理论方法因具体问题而定，而工程上常采取数值计算，用最小化目标误差函数的方法，求得近似的。目标误差函数的选取和判断准则因建模方法而异，总体原则是使预失真和功放的联合模型呈线性后误差最小。

本题探索中，预失真处理建模还需考虑以下2个约束条件：

预失真处理的“输出幅度限制”。由于功放的输入幅度需保持在一定范围，过大的值会导致饱和溢出，因此，本题的建模中限定预失真处理的输出幅度不大于所给出的功放输入幅度最大值。

预失真处理加载后，尽可能使功放的输出“功率最大化”。 为了充分发挥功放的作用，预失真处理模型的建立必需考虑尽可能使功放的信号平均输出功率最大，因此预失真处理后的输出幅度（等效为功放的输入幅度）需尽可能提高。

4.计算结果评价

以上模型的数值计算结果业界常用NMSE、EVM等参数评价其准确度，具体定义如下。

采用归一化均方误差 (Normalized Mean Square Error, NMSE) 来表征计算精度，其表达式为

                                             （8）

如果用表示实际信号值，表示通过模型计算的信号值，NMSE就反映了模型与物理实际模块的接近程度。功放前加载预失真处理后，也可用NMSE判断整体模型输出值与理想输出值的近似程度。

误差矢量幅度 (Error Vector Magnitude, EVM)定义为误差矢量信号平均功率的均方根和参照信号平均功率的均方根的比值，以百分数形式表示。如果用表示理想的信号输出值，表示理想输出与整体模型输出信号的误差，可用EVM衡量整体模型对信号的幅度失真程度。

                                                   （9）

二、请研究的几个问题：

在上述提供的背景材料以及自行查阅相关文献资料的基础上，请你们的团队研究下列问题。要求写出计算的过程、注明所用的优化方法、解释选择中间参数的理由、并附上所用的程序（C/C++/Java/Matlab等）。为保证所用模型的工程可实现性，请考虑选用适当复杂度的模型和算法。

以下各题中的数学建模鼓励创新，不局限于背景介绍的模型方法。

1. 无记忆功放

数据文件1给出了某功放无记忆效应的复输入-输出测试数据，其输入-输出幅度图为：

                  

图2  功放输入/输出幅度散点图

请根据提供的数据，完成以下任务。

A．建立此功放的非线性特性的数学模型，然后用NMSE评价所建模型的准确度。

B．根据线性化原则以及“输出幅度限制”和“功率最大化”约束，建立预失真模型。写出目标误差函数，计算线性化后最大可能的幅度放大倍数，运用评价指标参数NMSE/EVM评价预失真补偿的结果。

2. 有记忆功放

数据文件2给出了某功放的有记忆效应的复输入-输出数据，请完成以下任务。

A．建立此功放的非线性特性的数学模型，然后用NMSE评价所建模型的准确度。

B．根据线性化原则以及“输出幅度限制”和“功率最大化”约束，以框图的方式建立预失真处理的模型实现示意图（提示：可定义基本实现单元模块和确定其之间关系，组成整体图），然后计算预失真模型相关参数。运用评价指标参数NMSE/EVM评价预失真补偿的计算结果。

3． 拓展研究

相邻信道功率比（Adjacent Channel Power Ratio，ACPR）是表示信道的带外失真的参数，衡量由于非线性效应所产生的新频率分量对邻道信号的影响程度。其定义为

                                            （10）

其中为信号的功率谱密度函数，为传输信道，为相邻信道。功率谱密度的计算可通过对信号的自相关函数进行Fourier变换计算，也可以通过直接法等计算（假定本题涉及的信号为时间平稳信号）。

如果题2所附的数据采样频率MHz，传输信道按照20MHz来算，邻信道也是20MHz。根据给出的数据，请计算功放预失真补偿前后的功率谱密度，并用图形的方式表示三类信号的功率谱密度（输入信号、无预失真补偿的功率放大器输出信号、采用预失真补偿的功率放大器输出信号），最后用ACPR对结果进行分析评价。

 

数据文件(每题均包括txt和mat二种格式)：

第1题：

                          

第2题：

                  

参考文献

[1] John Tsimbinos, Identification and Compensation of Nonlinear Distortion, PhD Dissertation, School of Electronic Engineering, University Of South Australia, Adelaide, February 1995.

[2] Tianhai Wang, et al. Volterra-Mapping-Based Behavioral Modeling of Nonlinear Circuits and Systems for High Frequencies.  IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, 2003,51(5):1433-1440

[3] Raviv Raich, et al. Orthogonal Polynomials for Power Amplifier Modeling and Predistorter Design.  IEEE Trans. Vehicular technology, 2004,53(5):1468-1479

[4]Dennis R.Morgan et al. A Generalized Memory Polynomial Model for Digital Predistortion of RF Power Amplifiers. IEEE Trans. Signal Processing , 2006,54(10):3852-3860